Новостная лента

Гильбертово отель

29.10.2015

 

Однажды я получил электронное письмо от читательницы по имени Ким Форбс. Ее шестилетний сын Бен задал ей математическое вопрос, на который она не смогла ответить, поэтому она надеялась, что я смогу помочь:

 

Сейчас его 100-й день в школе. Он был очень взволнован и рассказал мне все, что знает о число 100, даже то, что 100 – это четное число. Он даже сказал мне, что 101 – это нечетное число, а 1 млн. – парное и тому подобное. Затем он сделал паузу и спросил: «А бесконечность является четным или нечетным?»

 

Я объяснил, что бесконечность не является ни четным, ни нечетным. Она не является числом в привычном понимании и не подчиняется правилам арифметики. Если бы она удовлетворяла эти правила, мы бы получили всевозможные противоречия. Например, «если бы бесконечность была нечетным, бесконечность умножить на 2 была бы четным. Но они обе являются нескінченностями! Поэтому вся идея четности и нечетности не имеет смысла для бесконечности».

 

Ким ответила:

 

Спасибо. Бен доволен этим ответом, ему нравится идея, что бесконечность является достаточно большим, чтобы быть и четным, и нечетным.

 

Хотя кое-что в этом толковании искаженное (бесконечность не является ни четным, ни нечетным, а не тем и тем одновременно), Бенове толкование указывает на большую правду. Бесконечность может быть удивительной.

 

Некоторые из ее самых странных аспектов впервые стали очевидными в конце 1880-х, когда Георг Кантор написал свою революционную работу о «теорию множеств». Кантор частности интересовался бесконечными множествами чисел и точек, как-вот множества «натуральных чисел» {1, 2, 3, 4,…} и множества точек прямой. Он обозначил строгий способ сравнивать бесконечные множества и был потрясен, когда обнаружил, что некоторые бесконечности больше, чем другие.

 

В то время теория Кантора вызвала не только сопротивление, но и возмущение. Анри Пуанкаре, один из тогдашних ведущих математиков, назвал ее «заразой». Однако другой великан эпохи, Давид Гильберт, считал ее важным вкладом и впоследствии заявил: «Никто не изгонит нас из рая, который создал Кантор».

 

Моя цель – дать вам определенное представление о этот рай. Но вместо работы непосредственно с множествами чисел или точек, я буду придерживаться подхода, предложенного самим Гільбертом. Он наглядно отразил своеобразие и удивительность Канторової теории, рассказав притчу о большой отель, сейчас известный как Гильбертово отель.

 

Все номера в нем постоянно заняты, но всегда найдется свободный.

 

В Гильбертовом отеле не просто сотни номеров, в нем их бесконечное количество. Когда прибывает новый гость, управляющий переселяет жителя номера 1 в номер 2, из номера 2 в номер 3 и т.д. Это позволяет высвободить номер 1 для вновь прибывших, а также разместить всех остальные (хотя переселение создает им неудобства).

 

Теперь предположим, что прибыла бесконечное количество новых гостей, потных и раздраженных. Ничего страшного. Менеджер не теряет присутствия духа и переселяет постояльца из номера 1 в номер 2, из номера 2-в номер 4, из номера 3-в номер 6 и т. д. Этот трюк удвоение делает доступными все комнаты с нечетными номерами — бесконечное их количество – для новых гостей.

 

Позже этого самого вечера в рецепции с грохотом подъезжает колонна автобусов, которой не видно конца. Этих автобусов есть бесконечное количество, и даже хуже: каждый из них битком набит бесконечным количеством недовольных людей, которые требуют, чтобы отель оправдал свой лозунг – «В Гильбертовом отеле всегда есть свободные номера».

 

Перед управляющим уже возникала такая проблема и он решает ее одним махом.

 

Сначала он делает трюк удвоение. Это перераспределяет имеющихся гостей по комнатам с четными номерами и высвобождает все комнаты с нечетными номерами – это хорошее начало, потому что теперь в его распоряжении имеется бесконечное количество комнат.

 

И достаточно ли этого? Действительно есть достаточно комнат с нечетными номерами, чтобы разместить многолюдную шумную толпу новых гостей? Это кажется невозможным, поскольку нечто вроде «возведенной в квадрат бесконечности» людей шумно требует этих комнат. (Почему возвышенная к квадрату бесконечность? Потому что мы имеем бесконечное количество людей в каждом автобусе, которых также бесконечное количество, а это бесконечность умноженная на бесконечность, что бы это не значило).

 

И именно здесь логика бесконечности становится очень причудливой.

 

Понять, как управляющий решит последнюю проблему, поможет, когда мы представим себе всех этих людей, которых он должен расселить.

 

 

Конечно, мы не можем показать здесь всех их буквально, потому что рисунок должен был бы быть бесконечным в обоих направлениях. Но конечный вариант рисунка является достаточным. Суть в том, что любой конкретный пассажир автобуса (скажем, ваша тета Инес, которая приехала в отпуск из Луисвилля) точно появится где-нибудь на рисунке, если только мы добавим достаточное количество строк и столбцов. В этом смысле каждый пассажир в каждом автобусе есть учтен. Вы называете пассажира, и он или она несомненно будут изображены за определенную конечную количество шагов на восток и на юг от угла рисунке.

 

Проблема управляющего состоит в том, чтобы найти способ пробраться через этот рисунок планомерно. Ему надо разработать схему выделения комнат, чтобы каждый в конце концов получил свою, как только из ограниченного числа других людей будет расселено.

 

К сожалению, предыдущий управляющий не понимал этого, за что и поднялся переполох. Когда аналогичная колонна появилась во время его дежурства, он в таком смятении стал пытаться расселить всех людей из автобуса 1, что никакого другого автобуса руки так и не дошли, поэтому эти недовольные и крикливые пассажиры были брошены на произвол судьбы. Изображенная на рисунке ниже, эта недалекозора стратегия соответствует пути, который идет на восток вдоль строки 1 и не возвращается обратно.

 

 

Однако новый менеджер держит все под контролем. Вместо того, чтобы заниматься только одним автобусом, он движется зигзагом по рисунку, начиная от угла, как показано ниже.

 

 

 

Он начинает от пассажира 1 в автобусе 1 и дает ему первую свободную комнату. Вторая и третья свободные комнаты достаются пассажиру 2 с автобуса 1 и пассажиру 1 из автобуса 2, оба они изображены на второй от угла рисунке диагонали. Расселив их, менеджер берется за третью диагональ и выдает ключи от комнат пассажиру 1 из автобуса 3, пассажиру 2 с автобуса 2 и пассажиру 3 с автобуса 1.

 

Я надеюсь, что метод менеджера – продвижение от одной диагонали к другой – понятно из рисунка вверху и что вы убедитесь, что до каждого отдельного человека дойдут через конечную количество шагов.

 

Поэтому, как и сказано в рекламе, в Гильбертовом отеле всегда есть свободные номера.

 

Только что приведенное мной рассуждение является известным в теории бесконечных множеств. Кантор использовал его для доказательства того, что положительных дробей (отношения p/q положительных целых чисел p и q) есть точно столько же, сколько есть натуральных чисел (1, 2, 3, 4, …). Это утверждение значительно сильнее, чем говорить, что оба множества бесконечны. Оно говорит, что они являются бесконечными в точно такой же мере, в том смысле, что между ними может быть установлена «взаимно однозначное соответствие».

 

Вы можете воспринимать это соответствие как набор пар, в которой каждое натуральное число образует пару с положительным дробью и наоборот. Существование такого набора кажется совершенно несовместимым со здравым смыслом: это тот разновидность софистики, который и вызвал негативную реакцию Пуанкаре. Поскольку оно предполагает, что мы могли бы сделать исчерпывающий перечень всех положительных дробей, хотя они даже не имеют малейшего элемента!

 

И теперь мы имеем такой перечень. Мы уже его нашли. Дробь p/q соответствует пассажиру p в автобусе q и приведенные выше рассуждения показывают, что каждый из этих дробей может быть соотнесен с определенным натуральным числом 1, 2, 3,…, равным номеру комнаты пассажира в Гильбертовом отеле.

 

Coup de grâce есть Канторове доказательства, что некоторые бесконечные множества больше, чем другие. А именно, множество действительных чисел между 0 и 1 есть «бесчисленным»: ее нельзя взаимно однозначно соотнести с натуральными числами. Для гостиничной индустрии это означает, что если все эти действительные числа появятся при рецепции и позвонят в звонок, для всех них не будет достаточно комнат даже в Гильбертовом отеле.

 

Доказательства от противного. Предположим, что каждому действительному числу выделена собственная комната. Тогда реестр жителей, идентифицированных их десятичными расписаниями и пронумерованных номерами комнат, будет выглядеть следующим образом:

 

Комната 1: 0,6708112345…

Комната 2: 0,1918676053…

Комната 3: 0,4372854675…

Комната 4: 0,2845635480…

 

Помните, что это должен быть полный перечень. Предполагается, что каждое действительное число между 0 и 1 где-то появится, на некотором конечном месте реестра.

 

Кантор показал, что в таком перечне пропущено большое количество чисел; в этом заключается противоречие. Например, чтобы построить число, которое нигде не появится в приведенном выше перечне, идите вниз по диагонали и стройте новое число из выделенных жирным шрифтом цифр:

 

Комната 1: 0,6708112345…

Комната 2: 0,1918676053…

Комната 3: 0,4372854675…

Комната 4: 0,2845635480…

 

Образованный таким образом десятичная дробь является 0,6975…

 

Но это еще не все. Следующий шаг: берем этот десятичная дробь и меняем все его цифры, заменив каждую из них любой другой цифрой между 1 и 8. Например, мы можем изменить 6 на 3, 9 на 2, 7 на 5 и т.д.

 

Этот новый десятичная дробь 0,325… убивает наповал. Он точно не в комнате 1, поскольку его первая цифра отличная от первой цифры числа, которое есть там. Он также не есть в комнате 2, поскольку его вторая цифра не совпадает. В общем, эта дробь отличается от n-числа на n-й десятичной позиции. Поэтому он нигде не появляется в списке!

 

Вывод тот, что в Гильбертовом отеле все действительные числа разместиться не могут. Их попросту слишком много, бесконечность более бесконечность.

 

И с этим скромным рассуждениям мы подходим к концу этой серии статей, которая началась 14 недель назад сценой в другом воображаемом отеле. Персонаж из передачи «Улица Сезам» (Sesame Street) на имя Хамфри работает на раздаче при ляди в отеле «Пушистые лапы» (The Furry Arms), где принимает заказы с заполненной пінґвінами комнаты: «рыба, рыба, рыба, рыба, рыба» — и вскоре узнает о могуществе чисел.

 

Это путешествие от рыбы до бесконечности была длительной. Я надеюсь, вы получили от нее такое же наслаждение, как и я.

 

 

Steven Strogatz
The Joy of X
Зреферувала Галина Грабовская

 

You Might Also Like

Loading...

Нет комментариев

Комментировать

Яндекс.Метрика