Новостная лента

Мощные инструменты

08.10.2015

О математику. От основ к непостижимому.

 

 

Если в 1980-х вы были заядлым телевизионным зрителем, то, наверное, помните талантливое шоу “Moonlighting”. Он известен своими остроумными диалогами и романтическими отношениями между его главными героями, парой острых на язык частных детективов Мэдди Хейз и Дэвид Эддисон, которых сыграли Сибилл Шеперд и Брюс Уиллис. Расследуя одно особенно сложное дело, Дэвид просит помощника следователя высказать наиболее вероятную догадку о возможного подозреваемого. «Не имею никакого понятия! – говорит ассистент. – Но знаете, чего я не понимаю?» На что Дэвид отвечает: «Логарифмы?» И далее, реагируя на взгляд Мэдди: «Что? Ты их понимаешь?»

 

 

Это прекрасно подытоживает то, что люди думают о логарифмах. Их специфическое название является частью их имиджевой проблемы. Большинство людей никогда не использовали их после окончания школы, по крайней мере, не сознательно, и не замечают логарифмов, что скрыты за событиями их ежедневной жизни.

 

То же самое можно сказать и про другие функции, о которых говорится в высшей алгебре и началах анализа. Степенные функции, экспоненциальные функции – какой в этом всем смысл? Моя цель на этой неделе – помочь вам разобраться в функции всех этих функций, даже если у вас никогда не было возможности нажать их кнопки на вашем калькуляторе.

 

Математику нужны функции с той самой причине, по которой строителю нужны молоток и сверло. Инструменты превращают вещи. То же самое делают функции. Собственно говоря, именно поэтому математики часто называют их «преобразованиями». И вместо дерева или стали, функции работают с числами и формами, а иногда даже с другими функциями.

 

Чтобы показать вам, что я имею в виду, построим кривую уравнения

 

y = 4 — x2

 

Возможно, вы помните, как это происходит: вы чертите изображение плоскости xy, где x является горизонтальной осью, а y – вертикальной. Тогда для каждого x вы обчислюєте соответствующий ему y и наносите их вместе как одну точку на плоскости xy. Например, когда x является 1, уравнение говорит, что y равно 4 минус 1 в квадрате, то есть 3. Поэтому (x,y) = (1, 3) является точкой на кривой. После вычисления и нанесения еще нескольких точек, появляется следующее изображение:

 

 

Изогнутая форма кривой обусловлена действием математических клещей. В уравнении для y функция, которая преобразует x в x2, часто работает как простой инструмент для сгибания и растягивания вещей. Когда она применяется к каждой точке на участке оси х (которую вы можете представить как прямой кусок проволоки), плоскогубцы изгибают и растягивают этот кусок в направленную вниз арку, показанную сверху.

 

А какую роль играет 4 в уравнении y = 4 – x2? Оно действует как гвоздь, на который вешают картину на стене. Оно поднимает изгиб проволочной дуги на четыре единицы. Поскольку оно поднимает все точки на ту же величину, то его называют «постоянной функцией».

 

Этот пример объясняет двойственную природу функций. С одной стороны, они являются инструментами: x2

сгибает кусок оси х, а 4 поднимает ее. С другой стороны, они строят блоки: 4 и x2 можно считать составными частями более сложной функции, 4 – x2, вполне как провода, батареи и транзисторы являются составными частями радио.

 

Начав смотреть на вещи в такой способ, вы заметите функции повсюду. Изогнутая дугой кривая сверху – формально известная как «парабола» — является сигнатурой функции возвышения в квадрат x2 , которая действует за сценой. Ищите ее, когда вы делаете глоток из фонтанчика для питья или смотрите на дугу, что ее описывает мяч, который летит в баскетбольное кольцо. Если когда-нибудь вы будете иметь несколько минут, чтобы задержаться в международном аэропорту Детройта, обязательно остановитесь возле Дельта-терминала, чтобы насладиться наиболее захватывающими в мире параболами в действии:

 

 

Параболы и константы связаны с более широким классом функций, степенными функциями в виде xⁿ, в которых переменная х поднимается до фиксированной степени n. Для параболы n = 2; для константы n = 0.

Изменение значение n дает нам другие удобные инструменты. Например, подъем х в первой степени (n = 1) дает функцию, которая работает, как пандус, постоянный наклон вверх или вниз. Это называется «линейной функцией», потому что ее ху графиком является прямая. Если вы оставите ведро на дворе во время постоянного дождя, уровень собранной в нем воды будет подниматься линейно во времени.

 

Другим отличным подспорьем инструментом является обратная квадратичная функция 1/x2, которая соответствует случаю n = -2. Она является хорошей для описания того, как волны и силы слабеют, распространяясь в трех измерениях, например, как стихает звук, когда удаляется от своего источника.

 

Такие, как эти, степенные функции являются строительными блоками, что их ученые и инженеры используют, чтобы описать рост и спад в их самых слабых формах.

 

И когда вам нужен математический динамит, время распаковать экспоненциальные функции. Они описывают все виды взрывного роста: от цепной ядерной реакции к размножению бактерий в чашке Петри. Наиболее известный пример – это функция 10ˣ, в которой 10 поднимается в степень х. Считайте, чтобы не перепутать это с предыдущими степенными функциями. Здесь показатель (степень х) является переменной, а основа (число 10) является константой, тогда как для степенной функции вроде x2 все наоборот. Это изменение полностью меняет картину. Экспоненциальное рост является неслыханно быстрым.

 

Именно поэтому столь трудно сложить лист бумаги вдвое больше, чем 7 или 8 раз. Каждое сгибание увеличивает толщину свертка примерно вдвое, что приводит к ее экспоненциального роста. Тем временем длина свертка каждый раз уменьшается наполовину и таким образом спадает экспоненциально быстро. Для стандартного листа из тетради после 7 сгибов сверток становится более толстым, чем длиннее, поэтому его больше нельзя согнуть. Это не вопрос силы изгиба; чтобы лист считался правильно изогнутый n раз, полученный сверток должен иметь 2n слоев по прямой, а этого не может быть, если сверток толще, чем длиннее.

 

Это сложное задание считалось неосуществимым, пока Бритни Ґалліван, на то время ученица школы старших классов, не развязала его в 2002 г. Она начала с того, что вывела формулу

 

 

которая рассчитывает максимальное количество раз n, в которое можно составить в одном направлении бумага данной толщины Т и длины L. Обратите внимание на угрожающую присутствие экспоненциальной функции 2 в двух местах: один раз, чтобы учитывать удвоение толщины свертка при каждом сгибе, а другой раз – чтобы учесть уменьшение наполовину его длины.

 

Используя свою формулу, Бритни пришла к выводу, что ей нужно было бы использовать специальный рулон туалетной бумаги длиной примерно три четверти мили. В январе 2002 г. она пошла в коммерческий центр своего родного городка Помона, шат Калифорния и развернула бумагу. Через семь часов, и при помощи своих родителей, она побила мировой рекорд, сложив бумагу наполовину 12 раз!

 

В теории экспоненциальное возрастание имело бы пойти на пользу вашему банковскому счету. Если ваши деньги растут при годовой процентной ставке r, через год они будут стоить (1 + r) умноженное на ваш первоначальный депозит; через два года — (1 + r) в квадрате; через х лет – (1 + r)ˣ умноженное на ваш первоначальный депозит. Таким образом чудо начисление сложного процента, о котором мы часто слышим, есть вызвано экспоненциальным ростом в действии.

 

Что приводит нас снова к логарифмов. Они нам нужны, потому что всегда полезно иметь средства, которые могут отменить друг друга. Так же, как каждый офисный работник нуждается зшивача и розшивача, каждому математику нужны экспоненциальные функции и логарифмы. Они являются «обратные». Это означает, что если вы наберете число х в своем калькуляторе, тогда нажмете кнопку10ˣ , а затем кнопку log x, вы получите число, с которого начали.

 

Логарифмы являются компрессорами. Они являются идеальными для того, чтобы, взяв числа, которые меняются в широком диапазоне, уплотнить их так, чтобы с ними легче было работать. Например, 100 и 100 миллионов отличаются в миллион раз, это пропасть, которые большинство из нас считают непреодолимой. Но их логарифмы отличаются лишь в четыре раза (они равны 2 и 8, поскольку 100 = 102 и 100 миллионов = 10⁸). В разговоре мы все употребляем грубую версию логарифмических сокращений, когда говорим о любую зарплату между 100 000 долл. и 999999 долл. как шестизначную. Это «шесть» является приблизительным логарифмом этих зарплат, который на самом деле охватывает интервал между 5 и 6.

 

Эти функции могут быть настолько впечатляющими, что один только набор математических инструментов может сделать очень много; именно поэтому я до сих пор не смонтировал мои книжные полки Ikea.

 

 

Steven Strogatz
The Joy of X
Зреферувала Галина Грабовская

 

You Might Also Like

Loading...

Нет комментариев

Комментировать

Яндекс.Метрика