Новостная лента

Нахождение ваших корней

17.09.2015

О математику. От основ к непостижимому.

 

 

Свыше две с половиной тысячи лет математики были проникнуты решением уравнения относительно х. История их попыток найти «корни» — решения все более сложных уравнений является одной из великих эпопей в истории человеческого мышления.

 

Впрочем существовала раздражающая мелкая зацепка, которая не рассосется: развязки часто содержащих квадратные корни отрицательных чисел. Такие развязки долгое время высмеивали как «софістські» или «надуманные», потому что они казались явно абсурдными.

 

Примерно к 1700 году математики верили, что квадратных корней отрицательных чисел попросту не существует.

 

Ведь они не могли быть положительными числами, так как произведение двух положительных чисел всегда является положительным, а мы ищем числа, квадрат которых является отрицательным. Также не подходят отрицательные числа, поскольку произведение двух отрицательных чисел опять же является положительным. Казалось, нет надежды найти числа, умноженные сами на себя, давали бы отрицательные числа.

 

Мы уже сталкивались с подобными кризисами ранее. Они случаются каждый раз, когда имеющиеся операции заходят слишком далеко, туда, где они уже не кажутся сенсовними. Так же, как результатом вычитания больших чисел из меньших стало появление отрицательных чисел, а деление породило обыкновенные и десятичные дроби, произвольное применение квадратных корней в конце концов заставило числовой универсум расширяться… снова.

 

Исторически этот шаг был самым болезненным из всех. Квадратный корень из -1 до сих пор имеет унизительное имя и, эта курвалькувата буква служит постоянным напоминанием о его «мнимый» статус.

 

Этот новый вид числа (если вы предпочитаете оставаться агностиком, называйте его символом, а не числом) есть обозначенный с помощью свойства

i2 = -1.

 

Правда, и невозможно найти где-то на числовой прямой. С этой точки зрения оно является гораздо более необычные, чем ноль, отрицательные числа, дроби или даже иррациональные числа, ибо все они — какими бы странными ни были — имеют свое место на прямой.

 

Но если не хватает воображения, в наших мозгах найдется место и для и. Оно живет вне числовой прямой, под прямым углом к ней, на своей собственной воображаемой оси. И когда вы соедините эту воображаемую ось с обычной «настоящей» числовой прямой, то вы получите двумерный (2D) пространство — плоскость, где живут новые разновидности чисел.

 

 

Речь идет о «комплексные числа». Здесь комплексный не значит сложный, а означает, что два типа чисел, действительное и воображаемое, составленные, чтобы образовать комплекс — гибридное число вроде 2 + 3i.

 

Комплексные числа являются удивительными, это апогей числовых систем. Они имеют все те же свойства, что и действительные числа, их можно складывать и вычитать, умножать и делить, но они являются лучшими, чем действительные числа, потому что они всегда содержат корни. Вы можете взять квадратный корень, кубический корень или корень из комплексного числа, и результат все равно будет комплексным числом.

 

Даже лучше: большое утверждение, называемое основной теоремой алгебры, говорит, что корни любого многочлена всегда являются комплексными числами. В этом смысле они являются концом поисков, заветной целью. Они являются кульминацией путешествия, которая началась с 1.

 

Вы сможете оценить практическую ценность комплексных чисел (или признать ее возможной), если сумеете их визуализировать. Ключом к этому является понять, как выглядит умножение на и.

 

Предположим, мы умножаем произвольное положительное число, скажем 3, на i. Результатом является мнимое число 3и.

 

Поэтому умножение на и выполняет поворот на квадранс против часовой стрелки. Оно берет стрелку длиной 3, которая указывает на восток, и превращает ее в новую стрелку такой же длины, которая теперь показывает на север.

 

Именно по этой причине комплексные числа любят инженеры-электрики. Такой компактный способ выражения поворотов на 90 градусов является очень удобным для них, когда они работают с переменными токами и напряжениями, электрическими и магнитными полями, поскольку те зачастую вызывают колебания или волны, сдвинутые по фазе на четверть цикла (то есть 90 градусов).

 

На самом деле комплексные числа незаменимы для всех инженеров. В аэрокосмической инженерии они упростили первый расчет подъемной силы крыла самолета. Гражданские инженеры и инженеры-механики постоянно используют их для анализа вибраций надземных пешеходных переходов, небоскребов и автомобилей на разбитых дорогах.

 

Свойство поворота на 90 ° также проливает свет на то, что на самом деле означает i2 = -1. Если мы умножим положительное число на i2, соответствующая стрелка повернется на 180 градусов, перекинувшись с востока на запад, потому что два поворота на 90 градусов (по одному на каждый множитель и) вместе дают поворот на 180 градусов.

 

 

Но умножение на -1 выполняет точно такой же поворот на 180 градусов. В этом смысле i2 = -1.

 

Компьютеры вдохнули новую жизнь в комплексные числа и извечную проблему нахождения корней. Машины на вашем столе — когда они свободны от интернет-навигации или электронной переписки — способны открывать вещи, о которых античные мыслители даже не могли мечтать.

 

В 1976 г. мой коллега из Корнелльского университета Джон Хаббард начал изучать динамику Ньютонівського метода, мощного алгоритма для нахождения корней уравнений на комплексной плоскости. Этот метод выбирает начальную точку (приближение к корню) и делает определенные вычисления, которые его улучшают. Делая это снова и снова и всегда используя предыдущую точку, чтобы получить попавшуюся, этот метод сам рассчитывает свои следующие шаги и быстро фокусируется на корни.

 

Хаббард заинтересовался проблемами со многими корнями. В таком случае, который найдет корень этот метод? Он доказал, что когда корней есть только два, то ближе всегда выигрывает. Но наличие трех или более корней сбивала его с толку. Его предварительное доведение уже не срабатывало.

 

Тогда Хаббард сделал эксперимент. Численный эксперимент.

 

Он запрограммировал компьютер выполнять метод Ньютона, маркируя разными цветами миллионы разных начальных точек в зависимости от того, к какому корню они приближаются, и уменьшая насыщенность окраски этих точек соответственно тому, как быстро они туда добираются.

 

Перед тем как посмотреть на результат, он предсказал, что корни быстрее будут притягивать близкие точки и поэтому они должны проявиться как светлые пятна в сплошных цветных лоскутах. И что творится на границах между этими лоскутами? Этого он не мог бы обрисовать, по крайней мере не в своем воображении.

 

Ответ компьютера поражала.

 

 

Пределы выглядели как психоделические галлюцинации. Цвета перемешивались в почти невероятно беспорядочный способ, прикасаясь друг друга в бесконечно большом количестве точек и всегда троїсто. Другими словами, пусть бы где сталкивались два цвета, всегда появлялся третий и присоединялся к ним.

 

Увеличение границ выявило узоры внутри узоров.

 

 

Структура была «фракталом» — сложной фіґурою, чья внутренняя структура повторялась во все более мелком и более мелком масштабе, как показано в этом непрерывном панкратичному увеличении:

 

 

Ба больше: вблизи границы царил хаос. Две точки могли стартовать очень близко друг от друга, какое-то время прыгать бок о бок, а потом разбежаться в разных корней. Предсказать, какой корень победит, было невозможно, как и в игре в рулетку. Что-то незначительное — крошечные, неосязаемые изменения в начальных условиях — может все изменить.

 

Труд Хаббард была ранней попыткой того, что сейчас называется «комплексной динамикой», яркой смесью теории хаоса, комплексного анализа и фрактальной геометрии. В определенном смысле она вернула геометрию до ее корней. В 600 г. к н.е. написан санскритом пособие для строителей храма в Индии подал подробную геометрическую инструкцию для вычисления квадратных корней, нужных для проектирования ритуальных алтарей. Через более чем две с половиной тысячи лет математики все еще искали корни, но теперь инструкции были написаны бинарным кодом.

 

Некоторых мнимых друзей вы не избавитесь никогда.

 

Steven Strogatz
The Joy of X
Зреферувала Галина Грабовская

 

You Might Also Like

Loading...

Нет комментариев

Комментировать

Яндекс.Метрика