Новостная лента

Переходите к границе

15.10.2015

О математику. От основ к непостижимому.

 

 

В средней школе мы с друзьями любили разгадывать классические ребусы. Что случится, если непреодолимая сила столкнется с недвижимым объектом? Это просто: оба разлетятся на щепки. Философия является простой, когда вам тринадцать.

 

И одна загадка нас беспокоила: если вы двигаетесь в направлении стены, каждый раз преодолевая половину пути от того, что остался, дойдете вы когда-нибудь к ней? В этом было что-то очень досадне, мысль о том, что ты приближаешься все ближе, однако так и не можешь достичь цели. (Вероятно, это метафора для подростковых страхов). Еще одной тревогой была плохо замаскированная присутствие бесконечности. Чтобы достичь стены, вы должны были бы сделать бесконечное число шагов, и в конце они должны были бы быть бесконечно малыми.

 

Такие вопросы, как это, всегда вызывают головную боль. Около 500 г. к н.е. Зенон из Елеї предложил ряд парадоксов относительно бесконечности, над которыми ломали головы поколения философов, и на это частично можно возлагать вину за ее изгнание по математике на следующие несколько веков. Например, в Евклідовій геометрии, единственными разрешенными конструкциями были те, которые предусматривают конечную количество шагов. Бесконечность считалась слишком непоясненною, слишком непонятной, ее трудно было поместить в жесткие рамки логики.

 

И Архимед, величайший математик античности, осознал значение бесконечности. Он использовал ее, чтобы решить проблемы, которые иначе были бы неразрешимыми, и в процессе этого подошел близко к созданию дифференциального и интегрального исчисления – почти за 2 тыс. лет до Ньютона и Лейбница.

 

В последующие недели мы углубимся в изучение великих идей в сердечнике дифференциального и интегрального исчисления. И сейчас мне бы хотелось начать с первых прекрасных намеков на них, видимых в античных вычислениях относительно кругов и пи (π).

 

Вспомним, что мы называем пи. Это отношение двух расстояний. Одной из них является диаметр, отрезок, который проходит поперек круга через его центр. Другой – длина окружности, расстояние вокруг круга. Пи является обозначенное как их отношение: длина окружности деленная на диаметр.

 

 

Если вы внимательный мыслитель, то вас что-то сразу может встревожить. Откуда мы знаем, что пи является тем самым числом для всех кругов? Может ли оно быть разным для больших кругов и малых кругов? Ответом является нет, но доказательство не является тривиальным. Вот интуитивный аргумент.

 

Представьте, что вы используете фотокопировальную машину, чтобы уменьшить изображение круга скажем на 50%. Тогда все расстояния на рисунке – включительно с длиной окружности и диаметром – уменьшатся на 50%. Итак, если вы поделите новую длину круга на новый диаметр, эта 50-процентная смена сократится, оставляя неизменным отношение. Это отношение и есть пи.

 

Конечно, это ничего не говорит нам о величине пи. Простые эксперименты с тесемками и тарелками являются достаточно хорошими для того, чтобы получить значение, близкое к 3, или если вы более скрупулезный, то 3 и 1/7. И предположим, что мы хотим найти точное значение пи или хотя бы аппроксимировать его с произвольной точностью. Что тогда? Именно эта проблема озадачивала мыслителей античности.

 

Перед тем, как обратиться к блестящему Архимедова развязку, мы должны вспомнить еще одну связанную с кругами ситуацию, где появляется пи. Площадь круга (величина пространства внутри круга) определяется формулой

 

А = πr2

 

Здесь A обозначает площадь, π является греческой буквой пи, а r является радиусом круга, означенной как половина диаметра.

 

 

Каждый из нас заучивал наизусть эту формулу в старших классах, но откуда она берется? Обычно ее не доводят на занятиях по геометрии. Если вы дошли до занятий по математическому анализу, то, возможно, там рассматривали ее доказательства, но действительно ли надо применять математический анализ, чтобы получить что-то настолько простое?

 

Так, надо.

 

Осложняет проблему то, что круги являются круглыми. Если бы они состояли из прямых линий, вопросов бы не возникало. Нахождение площадей треугольников, квадратов и пятиугольников является простым. И искривленные фигуры, например круга, – это сложно.

 

Ключ к математическому мышлению о искривленные фигуры – считать, что они состоят из многих малых прямолинейных кусочков. На самом деле это не так, но это работает…. При условии, что вы переходите к границе и представляете бесконечное количество кусочков, каждый из которых бесконечно мал. Это ключевая идея, которая лежит в основе интегрального исчисления.

 

Вот один из способов ее использования для нахождения площади круга. Начнем с того, что разрезаем область на четыре одинаковые четверти и переставим их следующим образом.

 

 

Странная фестончаста фигура вверху имеет такую же площадь, как и круг, хотя это может выглядеть совершенно неинформативно, поскольку ее площади мы также не знаем. Но по крайней мере нам известны две важные факты о ней. Во-первых, две дуги снизу имеют суммарную длину πr, это как раз половина длины исходного круга (потому что другая половина длины окружности приходится на две дуги сверху). Во-вторых, прямолинейные стороны кусков имеют длину r, поскольку каждый из них был сначала радиусом круга.

 

Далее продолжаем процесс, но на этот раз с восемью кусками, составленными попеременно, как и раньше.

 

 

Теперь фестончаста фигура выглядит не так вычурно. Дуги сверху и снизу на месте, но они уже не такие выпуклые. Еще одним шагом вперед является то, что правая и левая стороны фестончастої фигуры не так наклонены, как перед тем. Несмотря на эти изменения, два вышеупомянутые факты остаются справедливыми: дуги снизу и далее имеют суммарную длину πr, а каждая сторона имеет длину r. И понятное дело, фестончаста фигура и далее имеет такую же площадь, которую имела раньше – искомую площадь круга, — поскольку она является результатом перестановки восьми кусков круга.

 

Когда мы будем увеличивать количество кусков, произойдет нечто удивительное: фестончаста фигура будет приближаться к прямоугольнику. Дуги будут плоскішими, а стороны – почти вертикальными.

 

 

В границы, когда количество кусков стремится к бесконечности, фигура является прямоугольником. Так же, как в предыдущих случаях, два факта остаются справедливыми, что означает, что этот прямоугольник имеет основание шириной πr сторону и высотой r.

 

 

Но теперь проблема является простой. Площадь прямоугольника равна его ширине, умноженной на высоту, поэтому умножение πr r дает площадь прямоугольника πr2. А поскольку фигура, полученная перестановкой, всегда имеет ту же площадь, что и круг, это является ответом и для круга!

 

Что завораживает в этих вычислениях, то это способ, который бесконечность приходит на помощь. На каждом конечном этапе фестончаста фигура выглядит вычурной и малообіцяючою. Но когда вы переходите к границе – когда наконец добираетесь до стены» — она становится простой и хорошей, и все становится понятным. Это и есть дифференциальное и интегральное исчисление во всей своей красе.

 

Архимед использовал подобную стратегию для аппроксимации пи. Он заменил круг решеточным с многими прямолинейными сторонами и продолжал удваивать число сторон, чтобы приблизиться к совершенной округленості. И вместо того, чтобы довольствоваться аппроксимацией с определенной точностью, он методично ограничивал пи, поместив круг между «вписанными» и «описанными» многоугольниками, как показано ниже для 6-, 12 — и 24-посторонних фигур.

 

 

Тогда он использовал теорему Пифагора для нахождения периметров этих внутренних и внешних многоугольников, начиная с шестиугольника, а затем 12-, 24-, 48 — и, наконец, 98-сторонней фигуры. Результаты для 96-угольника дали ему возможность доказать, что

 

31⁰/₇₁ < π < 31/₇

 

В десятичной записи (которого Архимед не имел) это означает, что пи находится между 3,1408 и 3,1429.

 

Этот подход известен как «метод исчерпывания», за то, что он заключает неизвестное число пи между двумя известными числами так, что они сжимают его с обеих сторон. Границы сжимаются с каждым удвоением, таким образом исчерпывая пространство для маневра для пи.

 

В границы, когда количество сторон стремится к бесконечности, и верхние и нижние границы совпадают до пи. К сожалению, эта граница не такая простая, как предыдущая, где фестончаста фигура трансформировалась в прямоугольник. Так пи остается таким же трудным для понимания, как всегда. Мы можем найти все больше знаков после запятой – на данный момент их количество превосходит 2,7 триллионов десятичных знаков, – но мы никогда не будем знать его полностью.

 

Архимед не только заложил основы интегрального и дифференциального исчисления, он еще показал нам возможности аппроксимации и итерации. Он улучшил хорошую оценку к лучшей, используя все более прямолинейных кусков, чтобы аппроксимировать искривленный объект с растущей точностью.

 

Свыше два тысячелетия спустя, эта стратегия развилась в современную отрасль «численный анализ». Когда инженеры используют компьютеры, чтобы сконструировать машины с наиболее обтекаемой формой, когда биофизики моделируют то, как новые химиотерапевтические препараты цепляются за раковую клетку, они используют численный анализ. Математики и программисты, которые были пионерами в этой отрасли, создали высокоэффективные, итерационные алгоритмы, которые выполняются миллионы раз в секунду, что позволяет компьютерам решать проблемы в каждой сфере современной жизни, от биотехники к Уолл-стриту и интернета. В любом случае, стратегия заключается в нахождении ряда приближений, которые совпадают в границы до правильного ответа.

 

И границы, до которой это нас может привести, нет.

 

 

Steven Strogatz
The Joy of X
Зреферувала Галина Грабовская

 

>

You Might Also Like

Loading...

Нет комментариев

Комментировать

Яндекс.Метрика