Новостная лента

Шансы есть

22.10.2015

О математику. От основ к непостижимому.

 

 

Или вам снился когда-то кошмарный сон, в котором вы неожиданно осознаете, что вы должны сдавать экзамен по курсу лекций, которых никогда не посещали? Для преподавателей это работает наоборот: вам снится, что вы читаете лекцию по предмету, о котором ничего не знаете.

 

Именно так я себя чувствую каждый раз, когда преподаю теорию вероятности. Она никогда не была частью моего собственного образования, поэтому потребность читать об этом лекцию пугает и смешит, как будто дом страхов в парке аттракционов.

 

Возможно, больше всех тем пульс ускоряет «условная вероятность»: вероятность того, что некоторое событие А происходит, если (при «условии», что) состоялась какая-то другая событие. Это нечеткое понятие, которое легко спутать с вероятностью события В, если произошла А. Это не одно и то же, но вы должны сосредоточиться, чтобы увидеть почему. Например, рассмотрим следующую проблему тождества слов.

 

Перед выездом на каникулы на неделю вы просите своего роззявкуватого друга поливать вашу хилую растение. Без воды растение имеет 90-процентный шанс умереть. Даже при должном поливке ее шанс умереть составляет 20%. А вероятность того, что ваш друг забудет ее поливать составляет 30%. (а) Какова вероятность, что ваше растение переживет эту неделю? (b) Если она будет мертвой на момент вашего возвращения, какова вероятность того, что ваш друг забыл ее поливать? (с) Если ваш товарищ забыл ее поливать, какова вероятность того, что она будет мертвой, когда вы вернетесь?

 

Хотя они звучат подобно, пункты (b) и (с) не является одним и тем же. На самом деле, проблема показывает, что ответом на (с) 90%. Но как совместить все вероятности, чтобы получить ответы на (b) или (а)?

 

Конечно, когда я преподавал эту тему первые несколько семестров, я придерживался учебника, продвигаясь вперед медленно и осторожно, избегая риска. И постепенно я начал кое-что замечать. Некоторые из моих студентов предпочитал избегать использовать «теорему Баєса», запутанную формулу, которой я их учил. Вместо этого они предпочитали решать проблемы более простым методом.

 

Год за годом эти находчивые студенты продолжали выявлять лучший способ рассматривать условную вероятность. Их метод согласуется с человеческой интуицией, вместо того, чтобы мешать ей. Трюк заключается в том, чтобы мыслить в терминах «натуральных частот» – простой подсчет событий, – чем в более абстрактных понятиях процентов, случайностей или вероятностей. Как только вы сделаете этот сдвиг в сознании, туман рассеется.

 

Это является основным уроком замечательной книги «Осознанные риски» Ґерда Ґіґеренцера, когнитивного психолога из Института развития человека Макса Планка в Берлине. В ряде исследований медицинские и правовые проблемы в диапазоне от помощи больным СПИДОМ к интерпретации ДНК-генотипоскопії, Ґіґеренцер исследовал, как люди неправильно оценивают риск и неопределенность. Но он не корит ли жалуется на человеческую слабость, а скорее показывает нам, как сделать лучше – как избежать «затуманенного мышления» путем переформулирования связанных с условной вероятностью проблем в терминах натуральных частот, так же, как делали мои студенты.

 

В одном исследовании Ґіґеренцер и его коллеги попросили врачей в Германии и Соединенных Штатах оценить вероятность того, что женщина с положительной мамограмою действительно имеет рак груди, даже если она есть в группе низкого риска: возраст 40-50 лет, без симптомов и рака груди в семейном анамнезе. Чтобы конкретизировать вопрос, врачей попросили опираться на следующие статистические данные – сформулированы в терминах процентов и вероятностей – о распространенности рака груди среди женщин этой группы, а также о точность маммограммы и процент ложноположительных результатов:

 

Вероятность того, что одна из этих женщин имеет рак груди, составляет 0,8%. Если женщина имеет рак груди, вероятность положительной маммограммы составляет 90%. Если женщина нет рака груди, вероятность положительной маммограммы составляет 7%. Представим женщину с положительной мамограмою. Какова вероятность того, что у нее рак груди?

 

Ґіґеренцер описывает реакцию первого протестированного врача, руководителя отделения в университетской учебной больнице с более чем тридцатилетним профессиональным опытом:

 

«Он был заметно зденервований, пробуя сообразить, что он скажет этой женщине. Обдумав цифры, он в конце концов оценил вероятность того, что у женщины рак груди – учитывая то, что у нее положительная маммограмма – в 90%. И нервно добавил: «Что за бред. Я не могу этого сделать. Вам надо было бы протестировать мою дочь; она изучает медицину». Он знал, что его оценка ошибочна, но не знал, как рассуждать лучше. Несмотря на то, что он потратил 10 минут, терзая свой мозг в поисках ответа, он не смог понять, как сделать правильное умозаключение из вероятностей».

 

Когда Ґіґеренцер поставил этот вопрос перед 24 другими немецкими врачами, их оценки колебались от 1% до 90%. Восемь из них считали, что вероятность не больше 10%, еще восемь высказались за 90%, а остальные восемь примерно определили вероятность между 50% и 80%. Представьте себе, как расстроился бы пациент, если бы услышал такие отличные мысли.

 

Что касается американских врачей, то 95 из 100 оценили вероятность того, что у женщины рак груди, примерно в 75%.

 

Правильным ответом 9%.

 

Как она может быть такой низкой? По мнению Ґіґеренцера анализ становится почти очевидным, если мы переведем исходную информацию с языка процентов и вероятностей на язык натуральных частот:

 

Восемь женщин из каждой тысячи имеют рак груди. Из этих восьми женщин с раком груди семь будут иметь положительную маммограмму. Из оставшихся 992 женщин, у которых нет рака груди, 70 все равно будут иметь положительную маммограмму. Рассмотрим выборку женщин, которые имеют положительную маммограмму после обследования. Сколько из этих женщин на самом деле имеют рак груди?

 

Поскольку общая сумма 7 + 70 = 77 женщин имеют положительную маммограмму, и только 7 из них действительно больные раком груди, вероятность иметь рак груди при положительной маммограмме есть 7 из 77, что дает 1 из 11 или около 9%.

 

Обратите внимание на два упрощения в предыдущем вычислении. Сначала мы округлили десятичные дроби до целых чисел. Это произошло в нескольких местах, как тогда, когда мы сказали «из этих восьми женщин с раком груди семь будут иметь положительную маммограмму». На самом деле мы должны сказать 90% из восьми женщин, или 7,2 женщин, будут иметь положительную маммограмму. Поэтому мы немного пожертвовали точностью ради большей ясности.

 

Во-вторых, мы предположили, что все происходит именно с такой частотой, на которую указывает вероятность. Например, поскольку вероятность рака груди составляет 0,8%, то предполагается, что его будут точно 8 женщин из 1000 в нашей гипотетической выборке. На самом деле это не обязательно является правдой. События не должны придерживаться своей вероятности; монета, которую подбрасывают 1000 раз, не всегда упадет орлом вверх 500 раз. Однако это якобы является правильным ответом в таких как эта проблемах.

 

Правду говоря, эта логика есть немного хлипкой – именно поэтому учебники вешают носа при таком подходе по сравнению с более строгой, но тяжелее в применении теоремы Баєса, – но выигрыш в ясности является достаточным оправданием. Когда Ґіґеренцер тестировал другую группу из 24 врачей, на этот раз используя натуральные частоты, почти все из них дали правильный ответ или близкую к ней.

 

Хотя переформулировка данных в терминах натуральных частот очень помогает, проблемы условной вероятности все еще могут озадачивать других причин. Легко поставить ошибочный вопрос вычислить вероятность, которая является правильной, но дезориентирует.

 

И обвинение, и защита грешили этим во время процесса В. Джей Симпсона в 1994-95 гг Каждый из них просил присяжных принять во внимание ложную условную вероятность.

 

Обвинения первые десять дней процесса потратило на представление доказательств, что В. Джей Симпсон имел историю насилия по отношению к своей бывшей жене Николь. Он якобы бил ее, швырял ее о стену и добивался ее публично, говоря очевидцам: «Это принадлежит мне». Но имело ли все это что-то общее с процессом об убийстве? Доводом обвинения было то, что модель жестокого отношения к жене отражает мотив для убийства. Как выразил это один из обвинителей: «Пощечина является прелюдией к убийству».

 

Алан Дершовиц со стороны защиты парировал удар, аргументируя, что даже если обвинения в домашнем насилии являются правдивыми, они не касаются дела и поэтому не должны приниматься судом. Позже он написал: «Мы знали, что могли бы доказать в случае необходимости, что бесконечно малый процент – наверняка меньше, чем 1 из 2 500 мужчин, которые дают пощечин или бьют своих семейных партнеров, доходят до того, чтобы их убить».

 

На самом деле обе стороны просили присяжных рассмотреть вероятность того, что мужчина убил свою бывшую жену, принимая во внимание, что он перед тем ее бил. Но как обратил внимание статистик И. Дж. Гуд, это не то число, которое надо принимать во внимание.

 

На самом деле вопрос следующий: какова вероятность того, что мужчина убил свою бывшую жену, при условии, что он перед тем ее бил, и она была кем-то убита? Условная вероятность оказывается очень далекой от 1 на 2 500.

 

Чтобы увидеть почему, возьмем выборку из 100 тыс. битых женщин. Принимая во внимание число Дершовица 1 из 2500, мы ожидаем, что около 40 из этих женщин будут убиты их обидчиками данного года (поскольку 100 тыс. разделено на 2 500 равен 40). Мы можем оценить, что в среднем еще 3 из этих избитых женщин убьет кто-то другой (эта оценка основана на статистике из отчета FBI для женщин, убитых в 1992 году). Поэтому в целом 43 жертв убийств, 40 из них были убиты их обидчиками. Другими словами обидчик был убийцей примерно в 93% случаев.

 

Не путайте это число с вероятностью А. Джей Симпсон сделал это. Эта вероятность зависела бы от многих других доказательств, за и против, как заявление защиты, что полиция ложно обвинила его, или заявление обвинения, что у убийцы и О. Джей Симпсона были такие же ботинки, перчатки и ДНК.

 

Какова вероятность того, что что-то из этого изменило ваше мнение о приговоре? Ноль.

 

 

Steven Strogatz
The Joy of X
Зреферувала Галина Грабовская

 

You Might Also Like

Loading...

Нет комментариев

Комментировать

Яндекс.Метрика