Новостная лента

Танцующие квадраты

17.09.2015

О математику. От основ к непостижимому.

 

 

Спорим, что я угадаю вашу любимую математическую дисциплину в старших классах.

 

То была геометрия.

 

Много людей, с которыми я встречался на протяжении лет, выразили свое восхищение этим предметом. Арифметика и алгебра – в них нет много желающих. Но геометрия… Что же, в ней есть нечто, от чего появляется блеск в глазах.

 

Может, это потому, что геометрия привлекает правую сторону мозга и это привлекает людей с преобладающим развитием зрительной памяти, которые иначе могли бы отшатнуться от ее холодной логики? Возможно. И другие люди говорят мне, что они любили геометрию именно потому, что она такая логичная. Постепенное построение умозаключений, когда каждая новая теорема опирается на те, которые уже было доказано, – именно это является источником удовольствия для многих.

 

Но что-то мне подсказывает (и будем максимально открытыми, лично я люблю геометрию), что люди восхищаются ею, потому что она сочетает логику и интуицию. Она прекрасно вовлекает оба полушария нашего мозга.

 

Чтобы проиллюстрировать утешение от геометрии, заново пересмотрим Пифагорову теорему, которую вы, наверное, помните в форме a2 + b2 = c2. Отчасти нашей целью здесь является увидеть, почему она истинна, и оценить ее значение. Вне тем, доказывая эту теорему двумя разными способами, мы в конце концов увидим, как одно доведение может быть более «элегантным», чем другой, даже если оба являются правильными.

 

В Пифагоровой теореме говорится о «прямоугольные треугольники», то есть те, в которых один из углов является прямым (90 градусов). Прямоугольные треугольники являются важными, потому что вы их получаете, когда розрізаєте прямоугольник пополам вдоль его диагонали:

 

 

А поскольку прямоугольники часто возникают в самых разнообразных постановках задач, то появляются также и прямоугольные треугольники.

 

Например, во время землемерных работ. Когда вы меряете прямоугольное поле, вам может захотеться знать расстояние от одного угла до диагонально противоположного. (Кстати, с этого исторически и началась геометрия, по проблемам измерения пространства или измерения земли: geo = «земля» + metry = «измерение»).

 

Пифагорова теорема говорит нам, насколько длинной является диагональ по сравнению со сторонами прямоугольника. Если одна сторона имеет длину a, а другая – длину b, то теорема говорит, что диагональ имеет длину c, где

 

a2 + b2 = c2.

 

 

По какой-то причине диагональ традиционно называют «гипотенузой», хотя мне никогда не встречался тот, кто знает почему. (Может, это знает кто-то из латинских или греческих филологов?) Это должно быть что-то связано с диагональю, что «стягивает» прямой угол, но если уж говорить о профессиональный язык, то «стяжку» является таким же непонятным, как и «гипотенуза».

 

В любом случае, рассмотрим, как работает теорема. Не усложняя числа, скажем, что a = 3 ярда, а b = 4 ярда. Чтобы найти неизвестную длину с, мы надеваем наши черные колпаки и говорим, что c2 является суммой 32 плюс 42, то есть 9 плюс 16. (Учтем, что все эти величины теперь измеряются в квадратных ярдах, поскольку мы поднесли к квадрату ярды так же, как и числа). И наконец, поскольку 9 + 16 = 25, мы получаем c2 = 25 квадратных ярдов и, взяв квадратные корни от обеих сторон, получаем c = 5 ярдов – длину гипотенузы.

 

Если Пифагорову теорему рассматривать именно так, то она выглядит как теорема о длины. Но традиционно ее рассматривали как теорему о площади. Это становится понятнее, когда вы слышите ее привычная формулировка:

 

«Площадь квадрата на гипотенузе равна сумме площадей квадратов на двух других сторонах».

 

Обратите внимание на слово «на». Мы не говорим о квадрат гипотенузы – это новомодная алгебраическая концепция, что означает умножение числа (длины гипотенузы) на себя. Нет, мы тут буквально указываем на квадрат, который опирается на гипотенузу, как вот этот:

 

 

Назовем его большим квадратом, чтобы отличить от квадратов малого и среднего размеров, которые мы можем построить на двух других сторонах.

 

 

Тогда теорема говорит, что большой квадрат имеет такую же площадь, что и сложенные вместе средний и малый.

 

Тысячи лет этот замечательный факт был отражен в рисунке, канонической мнемосхеме танцующих квадратов:

 

 

 

Если рассматривать теорему в терминах площадей, то ее можно трактовать как развлечение. Например, вы можете проверить – а потом съесть ее – строя квадраты из многих маленьких крекеров. Или вы можете воспринимать ее как детские пазлы, с кусочками разных форм и размеров. Перемещая кусочки этих пазлов, мы можем очень просто доказать эту теорему следующим образом.

 

Вернемся к наклоненного квадрата, опирается на гипотенузу.

 

 

 

На инстинктивном уровне этот образ должен был бы заставить вас чувствовать себя чуть некомфортно. Квадрат выглядит потенциально неустойчивым, как будто мог бы перекинуться или сползти вниз по наклонной плоскости. Есть еще неприятная произвольность в том, какая из четырех сторон квадрата должна касаться треугольника.

 

Руководствуясь этим интуитивным ощущением, доставим еще три копии треугольника со всех сторон квадрата, чтобы образовать более устойчивый и симметричный рисунок:

 

 

Теперь вспомним то, что мы пытаемся доказать: что покосившийся белый квадрат на предыдущем рисунке (который собственно и является нашим предыдущим «большим» квадратом – он все еще опирается на гипотенузу дело) имеет такую же площадь, как и малый и средний квадраты, сложенные вместе. Но где эти другие квадраты? Чтобы найти их, мы должны переместить некоторые треугольники.

 

Представьте себе предварительный рисунок как буквальное изображение пазлов с четырьмя треугольными кусками, втиснутым в углы жесткой рамки пазлов.

 

Теперь вспомним то, что мы пытаемся доказать: что покосившийся белый квадрат на предыдущем рисунке (который собственно и является нашим предыдущим «большим» квадратом – он все еще опирается на гипотенузу дело) имеет такую же площадь, как и малый и средний квадраты, сложенные вместе. Но где эти другие квадраты? Чтобы найти их, мы должны переместить некоторые треугольники.

 

Представьте себе предварительный рисунок как буквальное изображение пазлов с четырьмя треугольными кусками, втиснутым в углы жесткой рамки пазлов.

 

 

В такой интерпретации покосившийся квадрат является пустым пространством посередине обрамление. Остальные поверхности внутри рамки заполнено кусками пазлов.

 

Теперь попробуем по-разному передвигать окружающие куски. Конечно, мы не можем изменить общий объем пустого пространства внутри рамки, это всегда объем, который лежит вне кусками.

 

Поэтому блестящей идеей является переставить куски следующим образом:

 

Совершенно неожиданно пустое пространство превращается в две фигуры, которые мы искали, – малый квадрат и средний квадрат. И поскольку общий объем пустого пространства всегда остается тем самым, мы только что доказали Пифагорову теорему!

 

Это доведение является не просто убедительным; оно разъясняет. Именно это делает его «элегантным».

 

Для сравнения рассмотрим другое доказательство. Оно в равной степени известно и, возможно, является самым простым доведением, которое избегает использования площадей.

 

Как и прежде, рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами, имеющими длину a и b, и гипотенузой длиной c, как это показано на нижнем рисунке слева.

 

 

Теперь – это божье вдохновение или приступ гениальности , – но что-то подсказывает нам опустить перпендикуляр до гипотенузы с противоположного угла, как показано на правом рисунке сверху.

 

Эта удачная небольшая построение образует два маленьких треугольника внутри исходного. Легко доказать, что все эти треугольники являются «подобными» – это означает, что они имеют одинаковую форму, но разные размеры. Из этого в свою очередь следует, что длины их соответствующих сторон имеют те же пропорции, которые превращаются в следующую систему уравнений:

 

Мы также знаем, что

 

c = d + e

 

Потому что наша построение просто делит исходную гипотенузу длиной c на две меньшие части, которые имеют длины d и e.

 

На этой стадии вы можете немного запутаться или по крайней мере не быть уверенными, что делать дальше. Вверху есть трясина пяти уравнений, и мы стараемся уменьшить их количество, чтобы вывести, что

 

a2 + b2 = c2.

 

Попробуйте это сделать в течение нескольких минут. Вы увидите, что два из этих уравнений являются несущественными. Это обидно; в элегантном доказывании не должно быть ничего лишнего. Конечно, оглядываясь назад, вы бы вообще не приводили эти уравнения. Но это были бы косметические изменения, которые не меняют сути.

 

Однако если вы оперуватимете тремя нужными уравнениями, теорема сама выскочит перед вами. Ниже приведены заметку с пропущенными шагами.

 

Согласитесь ли вы со мной, что это доведение с эстетической точки зрения хуже, от первого? Во-первых, оно затянуто в конце. И кто пригласил на забаву всю эту алгебру? Это должна быть геометрическая вечеринка.

 

Однако более серьезным недостатком является ненаочність доведение. На тот момент, когда вы продеретеся через него, вы можете поверить теореме (с трудом), но вы все еще не будете видеть, почему она справедлива.

 

Если оставить доведение стороне, почему Пифагорова теорема является важной? Потому что она выявляет фундаментальную истину о природе пространства. Это значит, что пространство является плоским, а не искривленным. На поверхности шара или тора, например, теорему нужно модифицировать. Эйнштейн принял этот вызов в своей общей теории относительности (где гравитация больше не рассматривается как сила, а скорее как проявление кривизны пространства). То же самое сделали Риман и другие перед ним, когда закладывали основы неевклидовой геометрии.

 

От Пифагора до Эйнштейна долгий путь. Но по крайней мере это прямая линия… на большей части пути.

 

 

Примечание:

 

Вот пропущенные шаги во втором вышеприведенном доказательстве. Возьмем следующее уравнение:

 

И умножим его на a с двух сторон, чтобы получить

 

Подобные манипуляции с другим уравнением дают нам

И наконец, подставив значения d и e из вышеприведенных выражений в уравнение c = d + e, получаем

Тогда, умножив обе части на c, получаем желаемую формулу:

 

a2 + b2 = c2.

 

 

 

Steven Strogatz
The Joy of X
Зреферувала Галина Грабовская

 

You Might Also Like

Loading...

Нет комментариев

Комментировать

Яндекс.Метрика