Новостная лента

Удовольствие от икса

17.09.2015

О математику. От основ к непостижимому.

 

 

На данном этапе этой серии время выйти на другой уровень, перейдя от арифметики начальной школы к математике старших классов.

 

В течение нескольких следующих недель мы будем повторять алгебру, геометрию и тригонометрию. Не волнуйтесь, если вы все это забыли: на этот раз не будет никаких тестов, поэтому вместо того, чтобы беспокоиться о деталях, мы с наслаждением сосредоточимся на самых прекрасных, самых важных идеях, которые имеют широкое применение.

 

Например, алгебра когда могла произвести на вас впечатление головокружительной мешанины символов, определений и операций, и в конце концов все они сводятся к только двух видов деятельности — решение уравнений относительно х и работы с формулами.

 

Решение уравнений относительно х является детективной работой. Вы разыскиваете неизвестное число, х. У вас есть некоторая информация о нем: то в форме уравнения типа 2x + 3 = 7, то — что менее удобно — его сложный словесное описание (та страшная «проблема тождества слов»). В каждом случае ваша задача — идентифицировать х, исходя из имеющейся информации.

 

Что же до работы с формулами, то она едва похожа на искусство и науку. Вместо того, чтобы фокусировать свое внимание на отдельном х, вы работаете с отношениями, которые остаются истинными, хотя числа в них меняются. Эти числа, которые меняются, называют переменными величинами, и именно они по-настоящему отличают алгебру от арифметики.

 

Формулы, которые мы рассматриваем, могут отражать елеґантні закономерности, касающиеся собственной природы чисел. Именно здесь алгебра пересекается с искусством. Или они могут отражать отношения между числами в реальном мире, как они это делают в законах природы для падучих предметов или планетных орбит, или генетических частот в популяции. Именно здесь алгебра пересекается с наукой.

 

Этот раздел алгебры на две большие формы деятельности не является общеупотребительным (на самом деле я только что его придумал), но, кажется, он вполне хорошо работает. В колонке на следующей неделе я расскажу о решении уравнений относительно х, а сейчас сосредоточимся на формулах, начав с простых примеров, чтобы разъяснить идеи.

 

Как-то в прошлом году моя дочь Джо осознала кое-что про свою старшую сестру Лею. «Папа, между моим возрастом и Леїним всегда есть некое число. Мне сейчас 6 лет, ей 8, а посередине есть 7. Даже когда мы станем старыми, например, мне будет 20, а ей 22, посередине и дальше будет какое-то число!»

 

Наблюдение Джо имеет отношение к алгебре (хотя только любящий отец посмотрит на него таким образом), потому что она заметила отношения между двумя постоянно меняющимися величинами: ее возрастом х и возрастом Леи. Независимо от того, какого возраста они достигнут, Лея всегда будет на два года старше: y = x + 2.

 

Алгебра является языком, в котором такие закономерности выражены наиболее естественно. Для свободного владения алгеброй нужна некоторая практика, потому что она перегружена тем, что французы называют «faux amis» — фальшивыми друзьями, которые звучат как надо в одном языке (в данном случае английском), но означают нечто совершенно отличное, когда их переводят на другую (в данном случае, алгебраическими символами).

 

Например, предположим, что длина коридора составляет y, если мы измеряем ее в ярдах, и f, если мы измеряем ее в футах. Напишите уравнение, которое связывает y с f.

 

Мой приятель Ґрент Віґґінз, консультант по образованию, не один год ставит эту проблему перед студентами и преподавателями. Как показывает его опыт, в более чем половине случаев студенты понимают ее неправильно, даже если недавно они прослушали курс алгебры и получили зачет.

 

Если вы думаете, что ответом является y = 3f, то приглашаем к их клубу.

 

Это похоже на такой же незатейливый перевод предложения: «Один ярд равен трем футам». И как только вы подставите в него несколько чисел, то увидите, что эта формула переворачивает все с ног на голову. Скажем, длина коридора 10 ярдов; всем известно, что это 30 футов. Впрочем, когда вы подставляете y = 10 и f = 30, формула не работает!

 

Правильной является формула f = 3y. Здесь 3 действительно означает 3 фута/ярд. Когда вы умножаете его на y в метрах, единицы измерения ярдов сокращаются и у вас остаются только единицы измерения футов, как и должно быть.

 

Проверка того, что единицы измерения сокращаются как надо, помогает избежать таких грубых ошибок. Например, она бы встерегла сервис Verizon (о котором мовилась речь в колонке прошлой недели) от спутывания долларов и центов.

 

Другой тип формул известный как «тождество». Когда вы делили или умножали многочлены на занятии по алгебре, вы работали с тождественностями. Вы можете использовать их, чтобы поразить своих друзей дешевыми фокусами с числами. Вот один, который произвел впечатление на физика Ричарда Фейнмана, который и сам был не в темя битый в устных вычислениях:

 

«Находясь в Лос-Аламосе, я обнаружил, что Ханс Бете является асом в вычислениях. Например, однажды мы подставляли определенные числа в формулу и получили 48 в квадрате. Я протянул руку за калькулятором Маршана, а он сказал: «Это будет 2300». Я стал жать кнопки, а он сказал: «Если ты хочешь точно, то это 2304».

 

Машина показала 2304. «Вот это да! Просто невероятно!», — сказал я.

 

«Разве ты не знаешь, как возводить в квадрат числа, близкие к 50? — спросил он. — Подносишь к квадрату 50 — это будет 2500 — и 100 раз вычитаешь разницу между 50 и твоим числом (в нашем случае это 2), поэтому достаешь 2300. Если тебе нужно точное число, поднеси к квадрату разницу и добавь ее. Так и получится 2304″».

 

Трюк Бете базируется на тождественности

 

(50 + x)2 = 2500 + 100x + x2.

 

Он помнил это уравнение и применил его для случая, когда х—2, что соответствует числу 48 = 50 – 2.

 

Для интуитивного обоснования этой формулы представьте себе квадратный лоскут ковра, каждая сторона которого имеет длину 50 + х.

 

 

Поэтому его площадь составляет (50 + x) в квадрате, а это именно то, что мы искали. Но рисунок вверху показывает, что эта область состоит из квадрата 50 на 50 (это привносит 2500 в формулу), двух прямоугольников размером 50 на х (каждый из которых привносит в площадь 50x, вместе — 100x) и наконец маленького квадрата размером х на х, который добавляет к площади х в квадрате, последний член в формуле Бете.

 

Подобные этому отношения предназначены не только для физиков-теоретиков. Тождества, подобные на тождество Бете, являются значимыми для каждого, кто вложил деньги в фондовую биржу. Допустим, ваш портфель ценных бумаг катастрофически падает на 50% за один год, а следующего года увеличивается на 50%. Даже после такого впечатляющего восстановления вы все еще будете терять 25%, потому что 0,5 умножить на 1,5 равно 0,75.

 

На самом деле вы никогда не вернетесь к тому, что имели, когда теряете и зарабатываете тот же процент в два последовательные года. Алгебра поможет вам понять, почему. Это следует из тождества

 

(1 – x)(1 + x) = 1 – x2.

 

В годы падения портфель ценных бумаг уменьшается на множитель 1 – x (в приведенном примере x = 0,5), а затем в следующем году увеличивается на множитель 1 + x. Поэтому изменение цены акций зависит от

 

(1 – x)(1 + x)

 

и согласно выше приведенной формулы равна

 

1 – x2.

 

Суть в том, что это выражение всегда является меньше, чем 1, для любого х, отличного от 0. Итак, вы никогда не вернетесь к тому, что имели.

 

Надо сказать, что не каждое отношение между переменными величинами являются таким же очевидным, как приведенные выше. Однако чары алгебре обольстительны, и в руках легковіра они порождают такие глупости, как формула для общественно приемлемой возрастной разности в любовных отношениях. В связи с некоторыми интернет-сайтами, если ваш возраст х, то порядочное общество отнесется к вам неодобрительно, если вы встречаетесь с кем-то, чем младшим (x/2) + 7.

 

Другими словами, для кого-то 82-летнего было бы ненормально засматриваться на мою 48-летнюю жену, даже если бы она была свободной. Но для 81-летнего? Без проблем.

 

Фу. Фу. Фу…

 

Steven Strogatz
The Joy of X
Зреферувала Галина Грабовская

You Might Also Like

Loading...

Нет комментариев

Комментировать

Яндекс.Метрика